Focus 8A. Hydrogenic Atoms [수소꼴 원자]/8A.1 수소꼴 원자의 구조/(a) 변수의 분리

 

 

 

 

토픽 8A: 수소꼴 원자

이 토픽을 배우는 이유

수소 원자의 구조는 다른 모든 원자, 주기율표, 그리고 화학 결합을 이해하는 데 필수적인 기초입니다.

이 토픽에서 다루는 개념은 다전자 원자와 분자의 구조를 설명하는 데에도 사용됩니다.

 

 

핵심 개념

• 원자 궤도함수:
  • 세 양자수 (\(n\), \(l\), \(m\))를 이용해 전자의 에너지와 각운동량을 설명.
  • 각 궤도함수는 전자의 공간적 분포를 나타냄.

 

필요한 예비 지식

• 파동함수의 개념 (토픽 7B): 전자의 상태를 나타내는 함수로, 에너지 준위를 기술.
• 슈뢰딩거 방정식 (토픽 7D): 전자와 원자핵 간의 상호작용을 기술하며, 경계 조건이 해를 제약함.

 

수소 원자의 스펙트럼

수소 기체 방전에 의해 들뜬 상태의 H 원자가 선 스펙트럼을 방출합니다. 특정 에너지 준위에서의 전이에 따라 빛의 진동수가 결정됩니다.

\( \tilde{\nu} = R_H \left( \frac{1}{n_1^2} - \frac{1}{n_2^2} \right) \)

• \(n_1\): 초기 에너지 준위 (\(n_1 = 1, 2, 3, \dots\)).
• \(n_2\): 최종 에너지 준위 (\(n_2 > n_1\)).
• \(R_H = 109,677 \, \text{cm}^{-1}\): Rydberg 상수.

스펙트럼 계열:

• Lyman 계열: 자외선.
• Balmer 계열: 가시광선.
• Paschen 계열: 적외선.

 

8A.1 수소꼴 원자의 구조 (The structure of hydrogenic atoms)

 

• 수소꼴 원자:
  • 원자 번호 \(Z\)를 가지며 전자가 하나인 원자 또는 이온.
  • 예: H (\(Z = 1\)), \(\text{He}^+\) (\(Z = 2\)).
• Coulomb 포텐셜 에너지: 
• \( V(r) = -\frac{Z e^2}{4 \pi \epsilon_0 r} \)
• Hamilton 연산자: 
• \( \hat{H} = -\frac{\hbar^2}{2m_e} \nabla_e^2 - \frac{\hbar^2}{2m_N} \nabla_N^2 - \frac{Z e^2}{4 \pi \epsilon_0 r} \)

 

(a) 변수의 분리 (The separation of variables)

Schrödinger 방정식

전자의 내부 운동만을 고려한 Schrödinger 방정식:

\( -\frac{\hbar^2}{2\mu} \nabla^2 \psi - \frac{Z e^2}{4 \pi \epsilon_0 r} \psi = E \psi \)

• \(\psi\): 전자의 파동함수.
• \(\nabla^2\): 라플라시안, 전자의 공간적 위치를 나타내는 연산자.
• \(E\): 전자의 에너지 준위.

 

환산 질량 (\(\mu\))

환산 질량 정의:

\( \frac{1}{\mu} = \frac{1}{m_e} + \frac{1}{m_N} \)

• \(\mu\): 전자와 원자핵의 질량에 따른 유효 질량.
• \(m_e\): 전자의 질량.
• \(m_N\): 원자핵의 질량.

\(m_N \gg m_e\) 이므로, 환산 질량은 \(\mu \approx m_e\).

 

 

파동함수의 중심 대칭성:

중심 대칭성을 갖는 퍼텐셜에서는 파동함수를 방사형 부분 (\( R(r) \))과 각도 부분 (\( Y(\theta, \phi) \))으로 분리 가능:

\[ \psi(r, \theta, \phi) = R(r) Y(\theta, \phi) \]

 

 

슈뢰딩거 방정식의 분리

각도 파동함수 (\( Y(\theta, \phi) \)):

\[ \nabla^2 Y = -l(l+1) Y \]

이 식은 구면 조화 함수로 해결 가능하며, 양자수 \( l \)과 \( m \)이 각운동량의 크기와 방향을 결정합니다.

방사형 파동함수 (\( R(r) \)):

\[ -\frac{\hbar^2}{2\mu} \left( \frac{d^2 R}{dr^2} + \frac{1}{r} \frac{dR}{dr} \right) + V_{\text{eff}}(r) R = E R \]

방사형 파동 방정식은 퍼텐셜 \( V_{\text{eff}}(r) \)과 관련된 전자의 운동을 기술합니다.

 

 

유효 퍼텐셜 에너지 (\( V_{\text{eff}}(r) \))

\[ V_{\text{eff}}(r) = -\frac{Z e^2}{4 \pi \epsilon_0 r} + \frac{l(l+1) \hbar^2}{2 \mu r^2} \]

첫 항은 핵과 전자 사이의 쿨롱 퍼텐셜, 두 번째 항은 각운동량으로 인해 발생하는 원심력 퍼텐셜입니다.

 

 

식의 의미

8A.6a (각도 방정식):

전자가 중심점 주위를 자유롭게 운동하는 구면 조화 함수로 기술되며, 양자수 \( l \)과 \( m \)이 정의됨

8A.6b (방사형 방정식):

방사형 파동 방정식은 전자가 중심점을 기준으로 \( r \)-방향으로 퍼져 있는 형태를 기술합니다. 퍼텐셜 \( V_{\text{eff}}(r) \)에 의해 제약됨

8A.6c (유효 퍼텐셜):

전자-핵 간의 인력과 원심력의 합으로 결정되며, \( r \)값에 따라 전자의 운동 상태와 에너지가 변화